Question

设函数f（x）=ln（ax²+1）．若f（x）=lnax有唯一的零点x₀（x₀∈R），则实数a=________．

Answer 1

4
分析：根据函数f（x）=ln（ax²+1）=lnax，可知道f（x）=lnax有唯一的零点x₀（x₀∈R），等价于ln=0有唯一的零点x₀，从而进行求解；
解答：∵函数f（x）=ln（ax²+1）．又f（x）=lnax（a≠0），
∴ln（ax²+1）=lnax，
∵f（x）=lnax有唯一的零点x₀（x₀∈R），
∴ln（ax²+1）-lnax=0有唯一的零点x₀（x₀∈R），
∴方程ln=0，有唯一的零点x₀，
可得=1，∴ax²-ax+1=0，（a≠0）
只有唯一的零点x₀（x₀∈R），
∴△=（-a）²-4a=0，
∴a=4（a=0舍去），
∴a=4，
故答案为4；
点评：此题主要考查函数的零点，注意唯一的意思，就是方程与x交点只有一个，此题是一道好题；