Question

【题目】已知函数在处的切线方程为.

(1)求函数的解析式；

(2)若关于的方程恰有两个不同的实根,求实数的值；

(3)数列满足.

证明：①；

②.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）证明见解析.

【解析】

（1）把x=3代入切线方程，求出切点，把切点坐标代入二次函数得关于a，b方程，再由得另一方程，联立求解a，b的值，则函数解析式可求；

（2）把（1）中求出函数f（x）的解析式代入方程f（x）=k ex，然后转化为k=e﹣x（x2﹣x+1），然后利用导数求函数的极值，根据函数的极值情况，通过画简图得到使方程k=e﹣x（x2﹣x+1），即方程f（x）=k ex恰有两个不同的实根时的实数k的值；

（3）①利用作差法证明即可；（2）由得到，分别取n=1，2，…，代入后化简，则的整数部分可求．

(1),依题设,有即，

解得，

∴.

(2)方程,即,得,

记,

则.

令,得 .

∴当时,取极小值；当时,取极大值.

作出直线和函数的大致图象,可知当或时,

它们有两个不同的交点,因此方程恰有两个不同的实根.

(3)①证明,得,又.

∴,

∴.

②由,得,

,

即：,

.