Question

已知函数f（x）=sinx-cosx，x∈R．
（1）求函数f（x）在[0，2π]内的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在x=x₀处取到最大值，求f（x₀）+f（2x₀）+f（3x₀）的值．

Answer 1

分析：（1）f(x)=

2

sin(x-

π

4

)，令 2kπ-

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，再由x∈[0，2π]，求得f（x）在[0，2π]内的单调递增区间．
（2）依题意得，x0=2kπ+

3π

4

（k∈Z），由周期性求出f（x₀）+f（2x₀）+f（3x₀）的值．

解答：解：（1）f(x)=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)，令 2kπ-

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，
可得 2kπ-

π

4

≤x≤2kπ+

3π

4

，k∈z．
由于x∈[0，2π]，则f（x）在[0，2π]内的单调递增区间为[0，

3π

4

]和[

7π

4

，2π]．
（2）依题意得，x0=2kπ+

3π

4

（k∈Z），由周期性，f（x₀）+f（2x₀）+f（3x₀）=(sin

3π

4

-cos

3π

4

)+(sin

3π

2

-cos

3π

2

)+(sin

9π

4

-cos

9π

4

)=

2

-1．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的单调性和周期性的应用，属于中档题．