Question

已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的

3

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，则这两个圆锥中，体积较小的圆锥与体积较大的圆锥体积之比为

 

．

Answer 1

分析：所成球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面半径，即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值即可得到体积的比值．

解答：解：不妨设球的半径为：4；球的表面积为：64π，
∴圆锥的底面积为：12π，圆锥的底面半径为：2

3

；
由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，球的半径以及圆锥底面的半径三者构成一个直角三角形．
∴球心到圆锥底面的距离是

42-(2 3 )2

=2，
所以圆锥体积较小者的高为：4-2=2，同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2=6；
所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为：1：3．
体积较小的圆锥与体积较大的圆锥体积之比为：1：3．
故答案为：1：3．

点评：本题是中档题，考查旋转体的体积，球的内接圆锥的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．