Question

已知函数f（x）=sin

x

2

+2cos²

x

4

．
（1）写出如何由函数y=sinx的图象变换得到f（x）的图象；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：f（x）解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，
（1）利用平移及变换规律由y=sinx得到f（x）即可；
（2）已知等式利用正弦定理化简，整理后根据sinA不为0求出cosB的值，确定出B的度数，得出A的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（A）的范围．

解答：解：f（x）=sin

x

2

+cos

x

2

+1=

2

（

2

2

sin

x

2

+

2

2

cos

x

2

）+1=

2

sin（

x

2

+

π

4

）+1，
（1）y=sinx向左平移

π

4

个单位，得到y=sin（x+

π

4

），再将横坐标伸长为原来的2倍，得到y=sin（

x

2

+

π

4

），
纵坐标伸长为原来的

2

倍，得到y=

2

sin（

x

2

+

π

4

），最后向上平移一个单位得到y=

2

sin（

x

2

+

π

4

）+1；
（2）由（2a-c）cosB=bcosC
，利用正弦定理化简得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

，
∵0＜B＜π，∴B=

π

3

，
f（A）=

2

sin（

A

2

+

π

4

）+1，
∵0＜A＜

2π

3

，即

π

4

＜

A

2

+

π

4

＜

7π

12

，
∴

2

2

＜sin（

A

2

+

π

4

）≤1，即2＜

2

sin（

A

2

+

π

4

）+1≤

2

+1，
则f（A）的范围为（2，

2

+1]．

点评：此题考查了正弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及三角函数的图象变换，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．