Question

6．设a=${∫}_{0}^{{e}^{2}-1}$$\frac{1}{x+1}$dx，则二项式（x²-$\frac{a}{x}$）⁹的展开式中常数项为5376．

Answer 1

分析 利用定积分求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式求出常数项即可．

解答 解：a=${∫}_{0}^{{e}^{2}-1}$$\frac{1}{x+1}$dx=ln（x+1）${|}_{0}^{{e}^{2}-1}$=lne²-ln1=2，
∴二项式（x²-$\frac{a}{x}$）⁹展开式的通项公式为
T_r+1=${C}_{9}^{r}$•（x²）^9-r•${（-\frac{2}{x}）}^{r}$=（-2）^r•${C}_{9}^{r}$•x^18-3r，
令18-3r=0，解得r=6；
∴展开式中的常数项为
（-2）⁶•${C}_{9}^{6}$=64×84=5376．
故答案为：5376．

点评 本题考查了定积分以及二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题目．