Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB，PD与平面ABCD所成角的正切值依次是1和

1

2

，AP=2，E，F依次是PB，PC的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求直线EC与平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由E，F依次是PB，PC的中点，知EF∥BC，由底面ABCD是矩形，知BC∥AD，所以EF∥AD，由此能证明EF∥平面PAD．
（Ⅱ）由PA⊥平面AABCD，知CD⊥PA，由CD⊥AD，知CD⊥平面PAD，取PA中点G，CD中点H，由题设条件推导出∠HGD即为直线EC与平面PAD所成的角．由此能求出直线EC与平面PAD所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）证明：在△PBC中，
∵E，F依次是PB，PC的中点，
∴EF∥BC，
∵底面ABCD是矩形，∴BC∥AD，
∴EF∥AD，
∵EF?平面PAD，AD?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面AABCD，∴CD⊥PA，
又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，
取PA中点G，CD中点H，连接EG、GH、GD，
则EG∥AB∥CD，且EG=

1

2

AB=1，∴EGHC是平行四边形，
∴∠HGD即为直线EC与平面PAD所成的角．
在Rt△GAD中，GH=

18

，
sin∠HGD=

HD

GH

=

1

18

=

2

6

，
∴直线EC与平面PAD所成角的正弦值为

2

6

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．