Question

已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx （x∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若方程f（x）-m=0有解，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）是偶函数建立等式关系，化简可得log4

4x+1

4-x+1

=-2kx，从而x=-2kx对x∈R恒成立，即可求出k的值；
（2）要使方程f（x）-m=0有解，转化成求函数的值域，将m分离出来得m=log4

4x+1

2x

=log4(2x+

1

2x

)．，然后利用基本不等式2x+

1

2x

≥2求出m的范围即可．

解答：解：（1）由函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（x∈R）是偶函数．
可知f（x）=f（-x）
∴log₄（4^x+1）+kx=log₄（4^-x+1）-kx（（2分）
即log4

4x+1

4-x+1

=-2kx
∴log₄4^x=-2kx（4分）
∴x=-2kx对x∈R恒成立．（6分）
∴k=-

1

2

．（7分）
（2）由m=f(x)=log4(4x+1)-

1

2

x，
∴m=log4

4x+1

2x

=log4(2x+

1

2x

)．（9分）∵2x+

1

2x

≥2（11分）
∴m≥

1

2

（13分）
故要使方程f（x）-m=0有解，m的取值范围：m≥

1

2

．（14分）

点评：本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及根的个数的判定和基本不等式等有关基础知识，属于中档题．