Question

5．若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较小的数小于$\frac{1}{2}$的概率是$\frac{7}{16}$．

Answer 1

分析 法一、先根据几何概型的概率公式求出在区间[0，2]中随机地取一个数，这个数大于$\frac{1}{2}$的概率，进一步求出两个数都大于$\frac{1}{2}$的概率，则这两个数中较小的数小于$\frac{1}{2}$的概率可求；
法二、设所取两数分别为x，y，则$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤2}\\{0≤y≤2}\end{array}\right.$，排除$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{y≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，画出图形，数形结合可得两个数中较小的数小于$\frac{1}{2}$的概率．

解答 解：法一、∵在区间[0，2]中随机地取一个数，这个数大于$\frac{1}{2}$的概率为$\frac{\frac{3}{2}}{2}=\frac{3}{4}$，
∴在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数都大于$\frac{1}{2}$的概率为$\frac{3}{4}×\frac{3}{4}=\frac{9}{16}$，
∴这两个数中较小的数小于$\frac{1}{2}$的概率是1-$\frac{9}{16}$=$\frac{7}{16}$；
法二、
设所取两数分别为x，y，则$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤2}\\{0≤y≤2}\end{array}\right.$，
若两数中较小的数小于$\frac{1}{2}$，则还需满足x$＜\frac{1}{2}$或y$＜\frac{1}{2}$，只需排除$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{y≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
作出可行域如图：

∴这两个数中较小的数小于$\frac{1}{2}$的概率是1-$\frac{\frac{3}{2}×\frac{3}{2}}{4}$=$\frac{7}{16}$．
故答案为：$\frac{7}{16}$．

点评 本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．该题属于中档题．