Question

在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰三角形，∠BAC=

π

2

且AA₁=2AB，D是CC₁上的一点，设C₁D=λC₁C，若直线A₁D与侧面BCC₁B₁所成的角为30°，则λ=

 

．

Answer 1

分析：过A₁作垂线A₁E交B₁C₁与E，易证∠A₁DE为直线A₁D与侧面BCC₁B₁所成的角，在三角形A₁DE中求出A₁D，再在三角形A₁C₁D中求出C₁D的长，即可求出λ的值．

解答：解：如图，过A₁作垂线A₁E交B₁C₁与E，
易证∠A₁DE=30°
设AB=AC=1，
则A₁E=

2

2

，A₁D=

2

，而A₁C₁=1，
则C₁D=1=

1

2

C₁C=λC₁C
∴λ=

1

2

，
故答案为

1

2

．

点评：本题主要考查了直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．