Question

已知函数f（x）=ax²-4x-2在区间（1，2）上既无最大值也无最小值，则a的取值范围为

（-∞，1]∪[2，+∞）

．

Answer 1

分析：根据函数既无最大值也无最小值，则说明函数在（1，2）是单调函数．然后根据二次函数的对称轴和单调区间的关系进行求解．

解答：解：∵区间（1，2）是开区间，
∴要使函数f（x）=ax²-4x-2在区间（1，2）上既无最大值也无最小值，
则必有函数在（1，2）是单调函数，
当a=0时，函数f（x）=ax²-4x-2=-4x-2，单调递减，满足在区间（1，2）上既无最大值也无最小值．
当a≠0时，二次函数的对称轴为x=-

-4

2a

=

2

a

，
若a＜0，满足条件，
若a＞0，要使函数函数在（1，2）是单调函数，
则

2

a

≥2或0≤

2

a

≤1，
解得0＜a≤1，或a≥2，
综上a≤1，或a≥2，
故答案为：（-∞，1]∪[2，+∞）．

点评：本题主要考查二次函数的单调性和对称轴之间的关系，利用条件确定函数在（1，2）是单调函数是解决本题的关键．