Question

下列命题中：
①集合{x|1+x＜4，x∈N}是有限集，集合{x|x²+1=0，x∈R}是空集；
②函数y=log_x-1|x|的定义域为（1，+∞）；
③函数y=lg

1+x

1-x

是奇函数；
④若方程（lgx）²-（lg2+lg3）lgx+lg2lg3=0的两根为x₁、x₂，则x₁x₂=6
正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：①集合{x|1+x＜4，x∈N}是有限集，集合{x|x²+1=0，x∈R}是空集；由集合的定义判断；
②函数y=log_x-1|x|的定义域为（1，+∞）；由对数函数的定义判断；
③函数y=lg

1+x

1-x

是奇函数；由函数的性质判断；
④若方程（lgx）²-（lg2+lg3）lgx+lg2lg3=0的两根为x₁、x₂，则x₁x₂=6，由二次函数的根系关系判断

解答：解：①集合{x|1+x＜4，x∈N}是有限集，集合{x|x²+1=0，x∈R}是空集，此是一个正确命题，集合{x|1+x＜4，x∈N}有三个元素，集合{x|x²+1=0，x∈R}是空集；
②函数y=log_x-1|x|的定义域为（1，+∞），由对数函数的定义知

|x|≠0 x-1＞0 x-1≠1

解得x＞1且x≠2，故此命题不正确；
③函数y=lg

1+x

1-x

是奇函数，此是一个正确命题，令f(x)=lg

1+x

1-x

，则f(-x)=lg

1-x

1+x

=lg

1+x

1-x

=-f(x)，故函数是奇函数；
④若方程（lgx）²-（lg2+lg3）lgx+lg2lg3=0的两根为x₁、x₂，则x₁x₂=6，此命题正确，因为方程的两根为x₁、x₂，则必有lgx₁+lgx₂=lg2+lg3，即有x₁x₂=6
综上得正确命题的序号为①③④
故答案为①③④

点评：本题考查对数函数的定义域，解答本题关键是正确理解对数的定义以及奇函数的定义等，本题是一个判断正误型的题涉及知识点较多，知识性强，需要有较宽广的知识面．