Question

已知函数f（x）=e^x，g（x）=ln

x

2

+

1

2

，对任意a∈R存在b∈（0，+∞）使f（a）=g（b），则b-a的最小值为（　　）

A．2 e -1

B．e2- 1 2

C．2-ln2

D．2+ln2

Answer 1

令 y=e^a，则 a=lny，令y=ln

b

2

+

1

2

，可得 b=2ey-

1

2

，
则b-a=2ey-

1

2

-lny，∴（b-a）′=2ey-

1

2

-

1

y

．
显然，（b-a）′是增函数，观察可得当y=

1

2

时，（b-a）′=0，故（b-a）′有唯一零点．
故当y=

1

2

时，b-a取得最小值为2ey-

1

2

-lny=2e0-

1

2

-ln

1

2

=2+ln2，
故选D．