Question

如图，四棱锥S－ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P为BC边的中点，SB与平面ABCD所成的角为45°，且AD＝2，SA＝1．

(1)求证：PD⊥平面SAP．

(2)求二面角A―SD―P的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(法一)(1)因为底面ABCD， 　　所以是SB与平面ABCD所成的角　　1分 　　由已知，所以， 　　易求得　　2分 　　又因为所以， 　　所以　　3分 　　因为底面ABCD，平面ABCD， 　　所以　　4分 　　由于，所以平面SAP　　5分 　　(2)设Q为AD的中点，连接PQ　　6分 　　由于底面ABCD，且平面SAD， 　　则平面SAD平面PAD　　7分 　　因为所以平面SAD， 　　过Q作，垂足为R，连接PR， 　　由三垂线定理可知， 　　所以是二面角的平面角　　9分 　　容易证明∽，则． 　　因为， 　　所以　　10分 　　在中，因为， 　　所以　　11分 　　所以二面角的余弦值为　　12分 　　(法二)因为底面ABCD， 　　所以是SB与平面ABCD所成的角　　1分 　　所以，所以． 　　建立空间直角坐标系(如图)， 　　由已知P为BC的中点，于是A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(1，1，0)，D(0，2，0)， 　　S(0，0，1)． 　　(1)易求得，(－1，1，0)，(－1，－1，1)． 　　因为， 　　 　　所以． 　　由于，所以平面SAP　　5分 　　(2)设平面SPD的法向量为， 　　由得，解得， 　　所以　　8分 　　又因为平面SAD， 　　所以是平面SAD的法向量， 　　易得，二面角为锐二面角　　9分 　　所以　　11分 　　所以的余弦值为　　12