题目内容
12．关于函数f（x）=2（sinx-cos x）cos x的四个结论：①最大值为$\sqrt{2}$；
②把函数f（x）=$\sqrt{2}$sin2x-1的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位后可得到函数f（x）=2（sinx-cosx）cos x的图象；
③单调递增区间为[kπ+$\frac{7π}{8}$，kπ+$\frac{11π}{8}$]（k∈Z）；
④图象的对称中心为（$\frac{k}{2}$π+$\frac{π}{8}$，-1）（k∈Z）．
其中正确的结论有③④．（将你认为正确结论的序号都填上）．
分析 化简函数的解析式，求出函数的最值判断①的正误；利用三角函数的图象的平移判断②的正误；求出函数的单调增区间判断③的正误；求出函数的对称中心判断④的正误．
解答 解：对于①，因为f（x）=2sinxcosx-2cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-1，所以最大值为$\sqrt{2}$-1，故①错误．
对于②，将f（x）=$\sqrt{2}$sin2x-1的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位后得到f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{2}$）-1的图象，而函数f（x）=2（sinx-cosx）cosx=sin2x-cos2x-1=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-1．
故②错误．
对于③，由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，得-$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{3π}{8}$+kπ，k∈Z，即增区间为[kπ+$\frac{7π}{8}$，kπ+$\frac{11π}{8}$（k∈Z），故③正确．
对于④，由2x-$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z，所以函数的对称中心为（$\frac{k}{2}$π+$\frac{π}{8}$，-1）（k∈Z）．故④正确．
故答案为：③④．
点评 本题考查三角函数的化简求值，函数的单调性以及函数的图象的平移，三角函数的对称中心，是中档题．
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