Question

设定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx，当x=-

2

2

时，f（x）取得极大值

2

3

，并且函数y=f′（x）的图象关于y轴对称．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）若曲线C对应的解析式为g(x)=

1

2

f(x)+

1

2

x+

4

3

，求曲线过点P（2，4）的切线方程．

Answer 1

分析：（1）因为函数图象关于y轴对称，得到函数是偶函数即f（x）=f（-x），得到b=0然后代入解析式中，又因为当x=-

2

2

时，f（x）取得极大值

2

3

得f（-

2

2

）=

2

3

，f′（-

2

2

）=0解出a与b得到f（x）的解析式；
（2）设切点为（x₀，y₀），表示出切线方程把P（2，4）代入切线方程得切点坐标，代入切线方程即可．

解答：解：（1）∵f′（x）=3ax²+2bx+c为偶函数，∴f（x）=f（-x），
∴3ax²-2bx+c=3ax²+2bx+c，
∴2bx=0得到b=0，
∴f（x）=ax³+cx
又当x=-

2

2

时，f（x）取得极大值

2

3

得
f（-

2

2

）=

2

3

，f′（-

2

2

）=0
∴解得

a= 2 3 b=-1

，
∴f（x）=

2

3

x³-x
（2）g(x)=

1

2

f(x)+

1

2

x+

4

3

=

1

3

x3+

4

3

，
设切点为（x₀，y₀），则y0=

1

3

x3+

4

3

，k=g′(x)|x=x0=x02
切线方程为：y-(

1

3

x03+

4

3

)=x02(x-x0)，
代入点P（2，4）化简得：x₀³-3x₀²+4=0，解得x₀=-1，2，
所以切线方程为：x-y+2=0和4x-y-4=0．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数某点的切线方程的能力．