Question

有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润分别是p万元和q万元．它们与投入资金x万元的关系是：p=

1

5

x，q=

3

5

x

．今有3万元资金投入经营这两种商品，为获得最大利润，对这两种商品的资金分别投入多少时，能获取最大利润？最大利润为多少？

Answer 1

分析：如果设对乙商品投入资金x万元，则对甲投入资金为（3-x）万元，获取的利润为y万元；那么y=p+q，代入可得关于x的解析式，利用换元法得到二次函数f（t），再由二次函数的图象与性质，求导y的最大值，和对应的t、x．

解答：解：设对乙商品投入资金x万元，则对甲投入资金为（3-x）万元，此时获取利润为y万元；
则由题意知，y=p+q=

1

5

(3-x)+

3

5

x

=-

1

5

x+

3

5

x

+

3

5

(0≤x≤3)．
令

x

=t，则y=-

1

5

t²+

3

5

t+

3

5

=-

1

5

(t-

3

2

)2+

21

20

（其中0≤t≤

3

）；
根据二次函数的图象与性质知，当t=

3

2

时，y有最大值，为

21

20

；
又t=

3

2

，得

x

=

3

2

，∴x=

9

4

=2.25（万元），∴3-x=0.75（万元）；
所以，对甲投入资金0.75万元，对乙投资2.25万元时，获取利润最大，为

21

20

万元．

点评：本题考查了换元法的应用，运用换元法解题时，要注意换元前后函数自变量取值范围的变化，以免出错．