Question

【题目】如图，在棱长均为的三棱柱中，点在平面内的射影为与的交点，、分别为，的中点.

（1）求证：四边形为正方形；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面没有公共点？若存在求出的值.（该问写出结论即可）

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2) (3)

【解析】

（1）先连结，由题意先证明平面，进而证明为菱形，再证明，即可得出结论成立；

(2)根据题意建立如图所示坐标系，求出直线的方向向量以及平面的一个法向量，根据向量夹角的余弦值，即可得出结果；

(3)因为直线与平面没有公共点，即是，设点坐标为，求出平面的一个法向量，根据线面平行，得到直线的方向向量与平面法向量数量积为0，进而可求出，即可得出结果.

解：（1）连结.

因为在平面内的射影为与的交点，所以.

由已知三棱柱各棱长均相等，所以，且为菱形.

由勾股定理得，即，所以四边形为正方形.

（2）由（1）知平面，.

在正方形中，.

如图建立空间直角坐标系.由题意得

，

.

所以.

设平面的法向量为，

则，即.

令，则.

于是.

又因为，

设直线与平面所成角为，

则.

所以直线与平面所成角的正弦值为

（3）直线与平面没有公共点，即.

设点坐标为，与重合时不合题意，所以.

因为.

设为平面的法向量，

则即

令,则.

于是.

若，.

又，

所以解得.

此时，

所以.所以.