Question

设过点的椭圆的两焦点为F₁（-1，0）和F₂（1，0）．M为椭圆上的一个动点，以M为圆心，MF₂为半径作⊙M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若⊙M与y轴有两个交点，求点M横坐标的取值范围；
（Ⅲ）是否存在定⊙N，使⊙M与⊙N总内切？若存在，求⊙N的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由2a=|PF₁|+|PF₂|=4，知a=2．由两焦点为两焦点为F₁（-1，0）和F₂（1，0），能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设M（x，y），则⊙M半径，圆心M到y轴的距离d=|x|，⊙M与y轴有两个交点，能求出点M横坐标的取值范围．
（Ⅲ）存在⊙N：（x+1）²+y²=16与⊙M总内切，圆心N为椭圆的左焦点F₁，由椭圆的定义知，|MF₁|+|MF₂|=4，由此能导出两圆相内切．
解答：解：（Ⅰ）∵2a=|PF₁|+|PF₂|=+=4，
∴a=2．
∵两焦点为F₁（-1，0）和F₂（1，0），
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴椭圆C的方程为．
（Ⅱ）设M（x，y），则⊙M半径，
圆心M到y轴的距离d=|x|，
由，
得，
∴，
∵-2≤x≤2，
∴．
（Ⅲ）存在⊙N：（x+1）²+y²=16与⊙M总内切，
圆心N为椭圆的左焦点F₁，
由椭圆的定义知，|MF₁|+|MF₂|=4，
∴|MF₁|=4-|MF₂|，
∴两圆相内切．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．