Question

已知函数f(x)=lnx，   g(x)=

1

2

ax2+2x
（1）若曲线y=f（x）-g（x）在x=1与x=

1

2

处的切线相互平行，求a的值及切线斜率．
（2）若函数y=f（x）-g（x）在区间(

1

3

，1)上单调递减，求a的取值范围．
（3）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交与P、Q两点，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，证明：C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不可能平行．

Answer 1

分析：（1）求函数y=f（x）-g（x）的导数，根据在x=1与x=

1

2

处的切线相互平行，得到导数相同，建立方程即可求a的值及切线斜率．
（2）要使函数y=f（x）-g（x）在区间(

1

3

，1)上单调递减，只要y'≤0恒成立即可求a的取值范围．
（3）利用反证法证明结论即可．

解答：解：（1）y=f（x）-g（x）=ln?x-(

1

2

ax2+2x)=ln?x-

1

2

ax2-2x，
∴y'=m'（x）=

1

x

-ax-2，
则m'（1）=1-a-2=-1-a，m'（

1

2

）=2-

1

2

a-2=-

1

2

a，
∵在x=1与x=

1

2

处的切线相互平行，
∴m'（1）=m'（

1

2

），即-1-a=-

1

2

a，
∴

1

2

a=-1，a=-2，
此时切线斜率k=m'（1）=-1-（-2）=2-1=1．
（2）∵y=f（x）-g（x）=ln?x-(

1

2

ax2+2x)=ln?x-

1

2

ax2-2x，y'=m'（x）=

1

x

-ax-2，
∴函数y=f（x）-g（x）在区间(

1

3

，1)上单调递减，
则m'（x）=

1

x

-ax-2≤0恒成立，
即ax≥

1

x

-2成立，
∴a≥

1

x2

-

2

x

，
设g（x）=

1

x2

-

2

x

，则g（x）=(

1

x

)2-

2

x

=(

1

x

-1)2-1
∵x∈(

1

3

，1)，∴

1

x

∈(1，3)，
∴g（x）∈（-1，3），
∴a≥3．
（3）设点P、Q的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂．
则点M、N的横坐标为x=

x1+x2

2

，
C₁在点M处的切线斜率为k₁=

1

x

，x=

x1+x2

2

，k₁=

2

x1+x2

，
C₂在点N处的切线斜率为k₂=ax+b，x=

x1+x2

2

，k₂=a

x1+x2

2

+b．
假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，
则k₁=k₂．
即

2

x1+x2

=

a(x1+x2)

2

+b，
则

2(x2-x1)

x1+x2

=

a

2

（x₂²-x₁²）+b（x₂-x₁）
=

a

2

（x₂²+bx₂）-（

a

2

x

2 1

+bx₁）=y₂-y₁=lnx₂-lnx₁．
∴ln

x2

x1

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

．
设t=

x2

x1

，则lnt=

2(t-1)

1+t

，t＞1①
令r（t）=lnt-

2(t-1)

1+t

，t＞1．
则r′（t）

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

．
∵t＞1时，r'（t）＞0，
∴r（t）在[1，+∞）上单调递增．
故r（t）＞r（1）=0．
则lnt＞

2(t-1)

1+t

．这与①矛盾，假设不成立．
故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行．

点评：本题主要考查导数的几何意义，考查导数是运算，以及利用导数研究函数的性质，综合性较强，运算量较大，考查 学生的运算能力．