Question

已知函数f(x)=1-

2

x

．
（Ⅰ）若g（x）=f（x）-a为奇函数，求a的值；
（Ⅱ）试判断f（x）在（0，+∞）内的单调性，并用定义证明．

Answer 1

分析：（I）根据f（x）表达式，得g（x）=1-a-

2

x

，再根据奇函数的定义采用比较系数法即可求出实数a的值．
（II）设0＜x₁＜x₂，将f（x₁）与f（x₂）作差、因式分解，得f（x₁）＜f（x₂），结合函数奇偶性的定义得到函数f（x）在（0，+∞）内是单调增函数．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=1-

2

x

∴g（x）=f（x）-a=1-a-

2

x

，…（2分）
∵g（x）是奇函数，
∴g（-x）=-g（x），即1-a-

2

(-x)

=-(1-a-

2

x

)，
解之得a=1．…（5分）
（Ⅱ）设0＜x₁＜x₂，则
f(x1)-f(x2)=1-

2

x1

-(1-

2

x2

)=

2(x1-x2)

x1x2

．（9分）
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，从而

2(x1-x2)

x1x2

＜0，（11分）
即f（x₁）＜f（x₂）．
所以函数f（x）在（0，+∞）内是单调增函数．（12分）

点评：本题给出含有分式的基本初等函数，讨论函数的单调性与奇偶性质．着重考查了函数的奇偶性的定义和用定义法证明单调性等知识，属于基础题．