题目内容

设直线y=a分别与曲线y²=x和y=e^x交于点M、N，则当线段MN取得最小值时a的值为________．

$\text{[math]}$
分析：先确定M、N的坐标，求得线段MN长，利用导数的方法，可求线段MN的最小值，从而可得a的值．
解答：∵直线y=a分别与曲线y²=x和y=e^x交于点M、N
∴M（a²，a），N（lna，a）
∴线段MN长l=|a²-lna|
由题意可知a＞0，设f（a）=a²-lna，f'（a）=2a- $\text{[math]}$
令f'（a）＞0，a＞ $\text{[math]}$ ；令f'（a）＜0，a＜ $\text{[math]}$
故f（ $\text{[math]}$ ）为函数f（a）的最小值，并且f（ $\text{[math]}$ ）＞0
所以a= $\text{[math]}$ 时，线段MN长取得最小值
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题考查直线与曲线的位置关系，考查导数知识的运用，确定线段MN的长是关键．

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．

（本小题满分13分）(第一问8分，第二问5分)

已知函数f(x)＝2lnx，g(x)＝ax²＋3x.

（1）设直线x＝1与曲线y＝f(x)和y＝g(x)分别相交于点P、Q，且曲线y＝f(x)和y＝g(x)在点P、Q处的切线平行，若方程f(x²＋1)＋g(x)＝3x＋k有四个不同的实根，求实数k的取值范围；

（2）设函数F(x)满足F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x²－(a＋6)x＋1.其中f′(x)，g′(x)分别是函数f(x)与g(x)的导函数；试问是否存在实数a，使得当x∈(0,1］时，F(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.

（本小题满分13分）(第一问8分，第二问5分)
已知函数f(x)＝2lnx，g(x)＝ax²＋3x.
（1）设直线x＝1与曲线y＝f(x)和y＝g(x)分别相交于点P、Q，且曲线y＝f(x)和y＝g(x)在点P、Q处的切线平行，若方程f(x²＋1)＋g(x)＝3x＋k有四个不同的实根，求实数k的取值范围；
（2）设函数F(x)满足F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x²－(a＋6)x＋1.其中f′(x)，g′(x)分别是函数f(x)与g(x)的导函数；试问是否存在实数a，使得当x∈(0,1］时，F(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.

设直线y=a分别与曲线y²=x和y=e^x交于点M、N，则当线段MN取得最小值时a的值为．

设直线y=a分别与曲线y2=x和y=ex交于点M、N，则当线段MN取得最小值时a的值为________．

试题分类

设直线y=a分别与曲线y²=x和y=e^x交于点M、N，则当线段MN取得最小值时a的值为________．