题目内容

设f（x）=lg $数学公式$ ，如果当x∈（-∞，1]时f（x）有意义，求实数a的取值范围．

解：当x∈（-∞，1]时f（x）=lg $\text{[math]}$ 有意义的函数问题，
转化为1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立的不等式问题．
不等式1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立，
即：a＞-[（ $\text{[math]}$ ）^2x+（ $\text{[math]}$ ）^x]在x∈（-∞，1]上恒成立．
设t=（ $\text{[math]}$ ）^x，则t≥ $\text{[math]}$ ，又设g（t）=t²+t，其对称轴为t=- $\text{[math]}$
∴g（t）=t²+t在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上为增函数，当t= $\text{[math]}$ 时，g（t）有最小值g（ $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
所以a的取值范围是a＞- $\text{[math]}$ ．
分析：f（x）有意义，则真数大于0，所以问题转化为1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立的不等式问题．分离参数，转化为求函数的最值解决．注意到4^x=（2^x）²，换元法转化为求二次函数在特定区间上的最值问题．
点评：本题考查对数函数的定义域、不等式恒成立问题，考查换元法和转化思想．