题目内容

对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，求
（1）函数f（x）=x3-3x2+3x对称中心为______．
（2）若函数g（x）=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
+
1
x-
1
2
，则g（
1
2011
）+g（
2
2011
）+g（
3
2011
）+g（
4
2011
）+…+g（
2010
2011
）=______．
（1）∵函数f（x）=x3-3x2+3x，∴f′（x）=3x2 -6x+3，∴f″（x）=6x-6．
令 f″（x）=6x-6=0，解得 x=1，且f（1）=1，故函数f（x）=x3-3x2+3x对称中心为（1，1），
故答案为 （1，1）．
（2）若函数g（x）=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
+
1
x-
1
2
=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
+
2
2x-1
，令h（x）=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
，m（x）=
2
2x-1
，则g（x）=h（x）+m（x）．
 则h′（x）=x2-x+3，h″（x）=2x-1，令h″（x）=0，可得x=
1
2
，故h（x）的对称中心为（
1
2
，1）．
设点p（x0，y0）为曲线上任意一点，则点P关于（
1
2
，1）的对称点P′（1-x0，2-y0）也在曲线上，
∴h（1-x0）=2-y0 ，∴h（x0）+h（1-x0）=y0+（2-y0）=2．
∴h（
1
2011
）+h（
2
2011
）+h（
3
2011
）+h（
4
2011
）+…+h（
2010
2011
）
=[h（
1
2011
）+h（
2010
2011
）]+[h（
2
2011
）+h（
2009
2011
）]+[h（
3
2011
）+h（
2008
2011
）]+…+[h（
1005
2011
）+h（
1006
2011
）]=1005×2=2010．
由于函数m（x）=
2
2x-1
的对称中心为（
1
2
，0），可得m（x0）+m（1-x0）=0．
∴m（
1
2011
）+m（
2
2011
）+m（
3
2011
）+m（
4
2011
）+…+m（
2010
2011
）
=[m（
1
2011
）+m（
2010
2011
）]+[m（
2
2011
）+m（
2009
2011
）]+[m（
3
2011
）+m（
2008
2011
）]+…+[m（
1005
2011
）+m（
1006
2011
）]=1005×0=0．
∴g（
1
2011
）+g（
2
2011
）+g（
3
2011
）+g（
4
2011
）+…+g（
2010
2011
）=h（
1
2011
）+h（
2
2011
）+h（
3
2011
）+h（
4
2011
）+…+h（
2010
2011
）
+m（
1
2011
）+m（
2
2011
）+m（
3
2011
）+m（
4
2011
）+…+m（
2010
2011
）
=2010+0=2010，
故答案为2010．
练习册系列答案
相关题目
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．
定义：（1）设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”；
定义：（2）设x0为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x0+x）+f（x0-x）=2f（x0）成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x0，f（x0））对称．
己知f（x）=x3-3x2+2x+2，请回答下列问题：
（1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标
 
；
（2）检验函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论
 
．
（2013•昌平区二模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
，请你根据上面探究结果，解答以下问题
（1）函数f（x）=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
的对称中心为
（
1
2
，1）
（
1
2
，1）
；
（2）计算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f（
2012
2013
）=
2012
2012
．
（2013•房山区二模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心．若f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+
1
6
x+1，则该函数的对称中心为
(
1
2
，1)
(
1
2
，1)
，计算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)=
2012
2012
．
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f''（x）是函数y=f（x）的导数f′（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心”，且‘拐点’就是对称中心．请你将这一发现作为条件．
（1）．函数f（x）=x3-3x2+3x的对称中心为
（1，2）
（1，2）
．
（2）．若函数g(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
+
1
x-
1
2
，则g(
1
2013
)+g(
2
2013
)+g(
3
2013
)+…+g(
2012
2013
)=
2012
2012
．
（2013•安庆三模）对于三次函数f（x）-ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设ft（x）是函数y=f（x）的导数，ftt（x）是函数ft的导数，若方程ftt（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个一元三次函数都有“拐点”；且该“拐点”也为该函数的对称中心．若f（x）=x3-
3
2
x2+
1
2
x+1，则f（
1
2014
）+f（
2
2014
）+…+f（
2013
2014
）=（　　）

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网