Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+ax²-bx（a，b∈R），若y=f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数，则b-a的最小值为

 

．

Answer 1

分析：先求出f′（x），根据f（x）在[-1，2]为单调减函数可知，在区间[-1，2]上导函数小于0且f（-1）＞f（2），得到f′（-1）小于0且f′（2）小于0，列出不等式求出a的最大值，b的最小值即可得到b-a的最小值．

解答：解：求得f′（x）=x²+2ax-b，因为f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数得到：
在区间[-1，2]上f′（x）＜0即f′（-1）＜0且f′（2）＜0，代入求得a≤-

1

2

由f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数得到f（-1）＞f（2），代入得到b≥

1

2

所以b-a的最小值=b的最小值-a的最大值=

1

2

-（-

1

2

）=1
故答案为1

点评：考查学生利用导数研究函数的单调性的能力，以及会求不等式的解集．