Question

已知等差数列{a_n}前三项的和为-3，前三项的积为8．
（1）求等差数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₂，a₃，a₁成等比数列，求数列{a_n}的前n项和S_n的最小值．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由题意可得关于a₁和d的方程组，解之代入通项公式可得；
（2）当a_n=5-3n时，不合题意，当a_n=3n-7时，符合题意，令a_n=3n-7≤0可知当n=2时，S_n取最小值．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
依题意得

a1+(a1+d)+(a1+2d)=-3 a1(a1+d)(a1+2d)=8

（2分）
解得

a1=2 d=-3

，或

a1=-4 d=3

（5分）
∴a_n=5-3n，或a_n=3n-7    （7分）
（2）当a_n=5-3n时，a₂=-1，a₃=-4，a₁=2，
此时a₂，a₃，a₁不成等比数列，不符题意（9分）
当a_n=3n-7时，a₂=-1，a₃=2，a₁=-4，
则a₂，a₃，a₁成等比数列，符合题意（11分）
令a_n=3n-7≤0得n≤

7

3

，又n∈N*，
故当n≤2时，a_n＜0
∴当n=2时，S_n取最小值S₂=-5（13分）

点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．