题目内容
【题目】如图，矩形
所在平面垂直于直角梯形
所在平面，
，
分别是
的中点．
（1）求证：平面
平面
；
（2）求二面角
的正切值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）由几何关系可知四边形
是平行四边形，则
． 由线面平行的判定定理可得
平面
． 由中位线的性质可知
，则
面 利用面面平行的判定定理即可证得平面
平面．
（2）以
为坐标原点建立空间直角坐标系，计算可得平面
的一个法向量
．而平面
的一个法向量为
．据此可得
，然后结合同角三角函数基本关系求解二面角
的正切值即可.
（1）因为
是
的中点，
，所以
．
又因为
， 
，所以
，且
，
所以四边形是平行四边形，所以．
又因为
平面
平面，所以平面．
因为
分别是
的中点，所以．
又因为
平面
平面，所以面
又因为
平面
平面
，所以平面平面．
（2）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则
，
所以
．
设平面的一个法向量为
，则
，令
，得
，
所以．
易知平面的一个法向量为．
所以
．
又因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的正切值
．
【题目】某地区2020年清明节前后3天每天下雨的概率为60%，通过模拟实验的方法来计算该地区这3天中恰好有2天下雨的概率：用随机数
（
，且
）表示是否下雨：当
时表示该地区下雨，当
时，表示该地区不下雨，从随机数表中随机取得20组数如下
332 714 740 945 593 468 491 272 073 445
992 772 951 431 169 332 435 027 898 719
（1）求出
的值，并根据上述数表求出该地区清明节前后3天中恰好有2天下雨的概率；
（2）从2011年开始到2019年该地区清明节当天降雨量（单位：
）如下表：（其中降雨量为0表示没有下雨）.
时间 | 2011年 | 2012年 | 2013年 | 2014年 | 2015年 | 2016年 | 2017年 | 2018年 | 2019年 |
年份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
降雨量 | 29 | 28 | 26 | 27 | 25 | 23 | 24 | 22 | 21 |
经研究表明：从2011年开始至2020年， 该地区清明节有降雨的年份的降雨量
与年份
成线性回归，求回归直线
，并计算如果该地区2020年（
）清明节有降雨的话，降雨量为多少？（精确到0.01）
参考公式：
.
参考数据：
，
，
，
.
