Question

关于函数f（x）=

2x

1+|x|

（x∈R）有如下结论：
①f（x）是偶函数；
②函数f（x）的值域为（-2，2）；
③f（x）在R上单调递增；
④函数|f（x+1）|的图象关于直线x=1对称；
其中正确结论的序号有

②③

．

Answer 1

分析：分别利用函数奇偶性，单调性，对称性的定义和性质进行判断．

解答：解：①因为函数的定义域为R，所以定义域关于原点对称．f(-x)=

-2x

1+|-x|

=-

2x

1+|x|

=-f(x)，所以函数f（x）是奇函数，所以①错误．
②当x=0时，f（x）=0．
当x＞0时，f(x)=

2x

1+x

=

2(1+x)-2

1+x

=2-

2

1+x

，此时0＜f（x）＜2．
当x＜0时，f(x)=

2x

1-x

=

2(x-1)+2

1-x

=-2+

2

1-x

=-2-

2

x-1

，此时-2＜f（x）＜0．
综上-2＜f（x）＜2，即函数f（x）的值域为（-2，2），所以②正确．
③当x＞0时，f(x)=

2x

1+x

=

2(1+x)-2

1+x

=2-

2

1+x

，此时函数单调递增，由①知函数f（x）为奇函数，
所以f（x）在R上单调递增，所以③正确．
④因为|f(x)|=

2|x|

1+|x|

为偶函数，所以|f（x）|关于y轴对称，将|f（x）|向左平移1个单位得到|f（x+1）|，
所以函数|f（x+1）|的图象关于直线x=-1对称，所以④错误．
故答案为：②③．

点评：本题综合考查了函数的奇偶性，单调性和对称性的应用，要求熟练掌握函数的性质及应用．