题目内容
已知函数
，且f（1）=2，
（1）求a、b的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性并加以证明．
，且f（1）=2，（1）求a、b的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性并加以证明．
解：（1）依题意有
，
得
（2）
的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，
∵
∴函数f（x）为奇函数．
（3）f（x）在（1，+∞）上是增函数，证明如下
设x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2
∵x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2∴x1﹣x2＜0，x1x2＞1，x1x2﹣1＞0
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．
， 得
（2）
的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，∵
∴函数f（x）为奇函数．
（3）f（x）在（1，+∞）上是增函数，证明如下
设x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2
∵x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2∴x1﹣x2＜0，x1x2＞1，x1x2﹣1＞0
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．
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