Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d≠0，且S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{

bn

an

}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）将已知等式用等差数列{a_n}的首项、公差表示，列出方程组，求出首项、公差；利用等差数列的通项公式求出数列{a_n}的通项公式．
（II）利用等比数列的通项公式求出

bn

an

，进一步求出b_n，根据数列{b_n}通项的特点，选择错位相减法求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）依题意得

3a1+ 3×2 2 d+5a1+ 4×5 2 d=50 (a1+3d)2=a1(a1+12d)

解得

a1=3 d=2

，
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1，
即a_n=2n+1．
（Ⅱ）

bn

an

=3n-1，
b_n=a_n•3^n-1=（2n+1）•3^n-1
T_n=3+5•3+7•3²+…+（2n+1）•3^n-1
3T_n=3•3+5•3²+7•3³+…+（2n-1）•3^n-1+（2n+1）•3ⁿ
-2T_n=3+2•3+2•3²+…+2•3^n-1-（2n+1）3ⁿ

=3+2• 3(1-3n-1) 1-3 -(2n+1)3n =-2n•3n

∴T_n=n•3ⁿ．

点评：解决等差、等比两个特殊数列的问题，一般将已知条件用基本量表示，列出方程组解决；求数列的前n项和，一般先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．