Question

函数f（x）=log_a（x-3a）（a＞0，且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，Q（x-2a，-y）是函数y=g（x）图象上的点．
（1）写出函数y=g（x）的解析式．?
（2）当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f（x）-g（x）|≤1，试确定a的取值范围．

Answer 1

（1）设P（x₀，y₀）是y=f（x）图象上点，令Q（x，y），则

x=x0-2a y=-y0

，
∴

x0=x+2a y0=-y

∴-y=log_a（x+2a-3a），∴y=log_a

1

x-a

（x＞a）
（2）由对数函数的定义得

x-3a＞0 x-a＞0

∴x＞3a
∵f（x）与g（x）在[a+2，a+3]上有意义．
∴3a＜a+2
∴0＜a＜1（6分）
∵|f（x）-g（x）|≤1恒成立|log_a（x-3a）（x-a）|≤1恒成立．

-1≤loga[(x-2a)2-a2]≤1 0＜a＜1

a≤(x-2a)2-a2≤

1

a

对x∈[a+2，a+3]上恒成立，令h（x）=（x-2a）²-a²
其对称轴x=2a，2a＜2，2＜a+2
∴当x∈[a+2，a+3]
h_min（x）=h（a+2），h_max=h（a+3）
∴原问题等价

a≤hmin(x) 1 a ≥hmax(x)

，即

a≤4-4a 1 a ≥9-6a

解得0＜a≤

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