Question

如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C、D的点，AE=3，正方形ABCD的边长为3

5

．
（1）求证：平面ABCD丄平面ADE；
（2）求四面体BADE的体积；
（3）试判断直线OB是否与平面CDE垂直，并请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由AE⊥平面CDE，得AE⊥CD，结合正方形ABCD中AD⊥CD，可得CD⊥平面ADE，再由CD?平面ABCD，得到平面ABCD丄平面ADE；
（2）将四面体BADE看作三棱锥B-ADE，证出AB⊥平面ADE，可得AB是三棱锥B-ADE的高．因此算出Rt△ADE的面积，再结合锥体的体积公式，即可得到四面体BADE的体积；
（3）采用反证法：若OB⊥平面CDE，则可证出平面BCE中，OB是CE的垂直平分线，可得BC=BE，从而得到AB=BE，与Rt△ABE中AB＜BE矛盾，由此可得直线OB与平面CDE不垂直．

解答：解：（1）∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD
又∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥CD
∵AD∩AE=A，AD、AE?平面ADE，∴CD⊥平面ADE
∵CD?平面ABCD，∴平面ABCD丄平面ADE；
（2）∵ABCD为正方形，∴AB∥CD且AB⊥AD
又∵AE⊥CD，∴AB⊥AE
∵AD、AE是平面ADE内的相交直线，
∴AB⊥平面ADE，可得AB是三棱锥B-ADE的高
∵AE⊥平面CDE，DE?平面CDE，
∴AE⊥DE，Rt△ADE中，DE=

AD2-AE2

=

(3 5 )2-32

=6
由此可得，四面体BADE的体积即三棱锥B-ADE的体积，得
V_BADE=

1

3

S_△ADE×AB=

1

3

×（

1

2

×3×6）×3

5

=9

5

；
（3）连接CE，由（1）CD⊥平面ADE，结合DE?平面ADE得CD⊥DE，
可得CE是圆O的一条直径，即O为CE中点
若OB⊥平面CDE，则平面BCE中，OB是CE的垂直平分线，
可得BC=BE，结合AB=BC得AB=BE，
由（2）得AB⊥AE，Rt△ABE中AB＜BE，矛盾．因此直线OB与平面CDE不垂直．

点评：本题给出圆O与四面体ABDE，在已知四边形ABCD是正方形且AE垂直于圆O所在平面的情况下，证明面面垂直并求四面体BADE的体积，着重考查了空间线面垂直、面面垂直位置关系的判定与证明和锥体体积公式等知识，属于中档题．