Question

已知正方形的内切圆和外接圆的面积之比为1：2，那么正方体的内切球、外接球以及与棱相切的球的体积之比为

1：3

3

：2

2

．

Answer 1

分析：设出正方体的棱长为a，分别求出正方体的内切球与其外接球的半径，然后求出体积比．再根据长为a的正方体内有一个球，与这个正方体的12条棱都相切，则球的直径等于正方体两条不相邻且平行的棱之间的距离结合球及正方体的几何特征得到球半径，代入球的体积公式，即可得到答案．

解答：解：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为

1

2

a，它的外接球的半径为

3

2

a，
故所求的比为1：3

3

，
若球与这个正方体的12条棱都相切，
则球心在到12条棱的距离均相等
则球的直径等于正方体两条不相邻且平行的棱之间的距离
即当正方体的棱长为a时，则球的直径等于正方体任一面对角线的长度
∴2R=

2

a
则R=

2

2

a
则V=

4

3

πR3=

2

3

πa3
那么正方体的内切球、外接球以及与棱相切的球的体积之比为 1：3

3

：2

2

故答案为：1：3

3

：2

2

．

点评：本题考查正方体的内切球和外接球的体积等，是基础题，其中根据正方体及球的几何特征及已知条件求出球的半径，是解答本题的关键．