Question

已知曲线C：x

1

2

+y

1

2

=1，给出下列四个命题：
①曲线C与两坐标围成的图形面积不大于

1

2

②曲线C上的点到原点的距离的最小值为

2

4

③曲线C关于点（

1

4

，

1

4

）中心对称
④当x≠0，1时，曲线C上所有点处的切线斜率为负值
其中正确命题个数为（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：利用曲线方程的特点结合曲线的图象分别进行判断即可．

解答：曲线方程为

x

+

y

=1，(0≤x≤1，0≤y≤1)，交换x，y的位置后曲线方程不变，所以曲线C关于直线y=x对称，且在第一象限内，因为点（

1

4

，

1

4

）在曲线上，由图象可知曲线在直线y=-x+1的下方，且为凹函数如图：
由以上分析可知：①曲线C与两坐标围成的图形面积不大于

1

2

，正确．
②曲线C上的点到原点的距离的最小值为

2

4

，②正确．
③因为点（

1

4

，

1

4

）在曲线上，所以由图象可知关于点（

1

4

，

1

4

）在曲线上，不对称所以③错误．
④因为函数为凹函数，所以当x≠0，1时，曲线C上所有点处的切线斜率为负值，所以④正确
故选C．

点评：本题主要考查曲线方程的性质的判断和推理，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性较强难度较大．