Question

已知函数f(x)=

3x-2

，无穷数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）求a₁的值使得{a_n}为常数列；
（2）若a₁＞2，证明：a_n＞a_n+1；
（3）若a₁=3，求证：

1

a1-2

+

1

a2-2

+…+

1

an-2

≥

4n

3n-1

-3．

Answer 1

分析：（1）设出常数列，通过函数关系求出求a₁的值，即可使得{a_n}为常数列；
（2）利用函数的单调性，通过a₁＞2，说明a_n＞2，通过a_n+1=f（a_n）分解因式，即可证明：a_n＞a_n+1；
（3）若a₁=3，通过放缩法，结合（2）推出a_n＞

4

3

•

1

an-2

；

1

an-2

＞(

4

3

)n-1，通过等比数列求和即可证明

1

a1-2

+

1

a2-2

+…+

1

an-2

≥

4n

3n-1

-3．

解答：解：（1）设a_n=m，则m=

3m-2

，
∴m=1或m=2，
经验证，当a₁=1或2时{a_n}为常数列；…（3分）
（2）因为函数f(x)=

3x-2

，在x＞2时，函数是增函数，
∵a₁＞2，a₂＞a₁＞2，
∴a_n＞2，
∵a_n²-a_n+1²=a_n²-3a_n+2=（a_n-1）（a_n-2）＞0，
则a_n＞a_n+1；
（3）

1

an+1-2

=

1

3an-2 -2

=

3an-2 +2

3an-6

=

1

an-2

3an-2 +2

3

，
由（2）知a_n＞2

1

an-2

＞=

1

3an-2-2

＞

1

an-2

•

3•2-2 +2

3

=

4

3

•

1

an-2

1

an-2

＞(

4

3

)•

1

an-1-2

＞(

4

3

)2•

1

an-2-2

＞…＞(

4

3

)n-1•

1

an-2

=(

4

3

)n-1，

1

a1-2

+

1

a2-2

+…+

1

an-2

≥(

4

3

)0+…+(

4

3

)n-1=

4n

3n-1

-3．…（12分）

点评：本题考查数列与不等式的综合问题，考查放缩法的应用，函数的单调性的应用，考查逻辑推理能力，计算能力．