Question

已知函数f（x）=kx+m，数列{a_n}，{b_n}满足：当x∈[a₁，b₁]时，f（x）的值域是[a₂，b₂]；当x∈[a₂，b₂]时，f（x）的值域是[a₃，b₃]，…，当x∈[a_n-1，b_n-1]（n∈N^*，且n≥2）时，f（x）的值域是[a_n，b_n]，其中k，m为常数，a₁=0，b₁=1．
（Ⅰ）若k=2，且数列{b_n}是等比数列，求m的值；
（Ⅱ）若k＞0，设{a_n}与{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n，求（T₁+T₂+…+T_n）-（S₁+S₂+…+S_n）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由k=2，得f（x）=2x+m在R上是增函数，从而b_n+1=2b_n+m，n∈N₊，根据{b_n}是等比数列，得b_n≠0，于是

bn+1

bn

=2+

m

bn

（是常数），从而m=0或{b_n}是常数列，故可求m的值；
（Ⅱ）由k＞0，得f（x）=kx+m在R上是增函数，可得{b_n-a_n}是以b₁-a₁为首项，k为公比的等比数列，从而bn-an=kn-1(b1-a1)=k^n-1，故T_n-S_n=（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b_n-a_n）=

n，k=1 1-kn 1-k ，k＞0，k≠1

，从而可求（T₁+T₂+…+T_n）-（S₁+S₂+…+S_n）的值．

解答：解：（I）∵k=2，∴f（x）=2x+m在R上是增函数，
∴b_n+1=2b_n+m，n∈N₊，
又∵{b_n}是等比数列，∴b_n≠0，
于是

bn+1

bn

=2+

m

bn

（是常数）
∴m=0或{b_n}是常数列，
又b₁=1，
∴若{b_n}是常数列，则必有b₂=2b₁+m=2+m=1，即m=-1，
综上，m=0或m=-1．
（II）∵k＞0，∴f（x）=kx+m在R上是增函数，
∴a_n=ka_n-1+m，b_n=kb_n-1+m（n∈N₊，且n≥2），
两式相减得b_n-a_n=k（b_n-1-a_n-1），即{b_n-a_n}是以b₁-a₁为首项，k为公比的等比数列，
∴bn-an=kn-1(b1-a1)=k^n-1，
∴T_n-S_n=（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b_n-a_n）=

n，k=1 1-kn 1-k ，k＞0，k≠1

，
∴（T₁+T₂+…+T_n）-（S₁+S₂+…+S_n）=（T₁-S₁）+（T₂-S₂）+…+（T_n-S_n）
=

n(n+1) 2 ，k=1 kn+1-(n+1)k+n (1-k)2 ，k＞0，k≠1

．

点评：本题以函数为载体，考查等差数列与等比数列的通项，考查数列的求和，将数列转化为等差数列与等比数列是解题的关键．