Question

设函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+1，（a∈R），当x∈[1，3]时，f（x）的最小值为5，则a的值为

2

．

Answer 1

分析：求出原函数的导函数，由导函数小于0根据a的不同取值范围得到原函数在区间[1，3]上的单调性，利用单调性求出当x∈[1，3]时，f（x）的最小值为5的a的值，满足a的取值范围的保留，不满足的舍掉，从而求出a的值．

解答：解：由f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+1，得
f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a，
令f'（x）＜0，得（x-a）（x-1）＜0
当a≤1时，a＜x≤1，f（x）在[1，3]为单调增，所以在x=1处有最小值，
即f（1）=2-3（a+1）+6a=4，解得a=

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3

（舍去）；
当1＜a＜3时，1＜x＜a，f（x）在[1，a]单调减，在[a，3]单调增，所以在x=a处有最小值，
即f（a）=2a³-3（a+1）a²+6a²=4，
即a³-3a²+4=0，即（a³+1）-3（a²-1）=0，
即（a+1）（a-2）²=0，解得a=2或a=-1（舍去）．
当a≥3时，f（x）在[1，3]上为单调减，所以在x=3处有最小值，
f（3）=54-27（a+1）+18a=4，解得a=

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9

（舍去）．
所以当x∈[1，3]，f（x）的最小值为5时a的值为2．
故答案为2．

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，通过正确的分类，利用导函数的符号判处函数在区间[1，3]内的单调情况是解决该题的关键，是难题．