Question

设函数f（x）=x³+mln（x+1）
（1）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求实数m的值；
（2）求证：

1

23

+

2

33

+

3

43

+…+

n-1

n3

＜ln(n+1)，(n∈N*)；
（3）求证：

n

i=1

(sin

i-1

n

+

n

i+n

)＜n(1-cos1+ln2)．

Answer 1

分析：（1）利用导数的几何意义即可求出；
（2）构造函数，利用导数得出其单调性即可证明；
（3）利用y=sinx在[0，1]上单调递增、y=

1

1+x

在[0，1]上单调递减及定积分的意义即可得出．

解答：解：（1）由f（x）=x³+mln（x+1），得f′(x)=3x2+

m

x+1

，x∈(-1，+∞)
由于曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，
∴f′（1）=0，解得m=-6．
（2）∵

1

23

+

2

33

+

3

43

+…+

n-1

n3

＜ln(n+1)，(n∈N*)
等价于(

1

22

-

1

23

)+(

1

32

-

1

33

)+…+(

1

n2

-

1

n3

)＜ln(

n+1

n

•

n

n-1

•…•

2

1

)
等价于(

1

22

-

1

23

)+(

1

32

-

1

33

)+…+(

1

n2

-

1

n3

)＜ln(1+

1

1

)+ln(1+

1

2

)+…+ln(1+

1

n

)
令m=1，f（x）=x³+ln（x+1）
设h（x）=x²-f（x）=x²-ln（1+x）-x³
则h'（x）=-3x2+2x-

1

x+1

=-

3x3+(x-1)2

x+1

当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，
又∵h（0）=0，
∴当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＜h（0）=0，即x²-ln（x+1）＜x³恒成立．
∵k∈N*，∴

1

k

∈(0，+∞)取x=

1

k

，则有

1

k2

-

1

k3

＜ln(1+

1

k

)，
∴

n

k=1

 (

1

k2

-

1

k3

)＜

n

k=1

 ln(1+

1

k

)，
即 

1

23

+

2

33

+

3

43

+…+

n-1

n3

＜ln(n+1)，(n∈N*)．
（3）∵y=sinx在[0，1]上单调递增，
∴

n

i=1

sin

i-1

n

=n[

1

n

(sin

0

n

+sin

1

n

+…sin

n-1

n

)]＜n

∫

1 0

sinxdx=n（-cosx）

|

1 0

=n（1-cos1）．
又y=

1

1+x

在[0，1]上单调递减，
∴

n

i=1

n

i+n

=

1

1+ 1 n

+

1

1+ 2 n

+…+

1

1+ n n

=n[

1

n

(

1

1+ 1 n

+

1

1+ 2 n

+…+

1

1+ n n

)]＜n

∫

1 0

1

1+x

dx=nln（1+x）

|

1 0

=nln2．
∴

n

i=1

(sin

i-1

n

+

n

i+n

)＜n(1-cos1+ln2)．

点评：熟练掌握导数的几何意义、通过构造函数利用导数得出其单调性证明不等式、利用y=sinx在[0，1]上单调递增、y=

1

1+x

在[0，1]上单调递减及定积分的意义是解题的关键．