题目内容
已知等差数列{an}中a1=1，公差d＞0，前n项和为Sn，且S1，S3-S2，S5-S3成等比数列．（I）求数列{an}的通项公式an及Sn；
（Ⅱ）设
，证明：b1+b2+…+bn＜2．
【答案】分析：（I）利用等差数列的通项公式即可得到S1=a1=1，S3-S2=a3=1+2d，S5-S3=a4+a5=2+7d，再利用等比数列的定义及S1，S3-S2，S5-S3成等比数列，可得（1+2d）2=1×（2+7d），解出d，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（II）利用（I）的结论和裂项求和即可证明．
解答：（Ⅰ）解：由题意S1=a1=1，S3-S2=a3=1+2d，S5-S3=a4+a5=2+7d，
∵S1，S3-S2，S5-S3成等比数列，
∴（1+2d）2=1×（2+7d），
解得
（舍去）或d=1
∴an=n，
．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得
∴b1+b2+…+bn=
=
＜2
即b1+b2+…+bn＜2．
点评：熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式、裂项求和是解题的关键．
（II）利用（I）的结论和裂项求和即可证明．
解答：（Ⅰ）解：由题意S1=a1=1，S3-S2=a3=1+2d，S5-S3=a4+a5=2+7d，
∵S1，S3-S2，S5-S3成等比数列，
∴（1+2d）2=1×（2+7d），
解得
（舍去）或d=1∴an=n，
．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得
∴b1+b2+…+bn=
=＜2即b1+b2+…+bn＜2．
点评：熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式、裂项求和是解题的关键．
练习册系列答案
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