Question

（2013•昌平区二模）已知函数f（x）=

3

sin(π-2x)-2cos²x+1，x∈R．
（Ⅰ）求f（

π

2

）；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 2sin（2x-

π

6

），由此求得 f（

π

2

）的值．
（Ⅱ）根据函数f（x）的解析式求得它的周期，由 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得x的范围，即可求得函数的单调递增区间．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=

3

sin(π-2x)-2cos²x+1=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），…..（4分）
∴f（

π

2

）=2sin（2×

π

2

-

π

6

）=2×

1

2

=1．（6分）
（Ⅱ）函数f（x）=2sin（2x-

π

6

） 的最小正周期 T=

2π

2

=π，…（8分）
又由 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
故函数的单调递增区间为[kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

]，k∈z．…（13分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的周期性和求法，求复合三角函数的单调区间，属于中档题．