Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P（-4，0），过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当线段MN的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（I）设出椭圆的方程，根据正方形的面积求出椭圆中参数a的值且判断出参数b，c的关系，根据椭圆的三个参数的关系求出b，c的值，即可得到椭圆的方程．
（II）设出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用二次方程的韦达定理得到弦中点的坐标，根据中点在正方形的内部，得到中点的坐标满足的不等关系，即可求直线l的斜率的取值范围．

解答：解：（1）依题意，设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，焦距为2c，
由题设条件知，a²=8，b=c，所以b2=

1

2

a2=4
故椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1  …（6分）．
（2）椭圆C的左准线方程为x=-4，所以点P的坐标为（-4，0）
显然直线l的斜率k存在，所以可设直线l的方程为y=k（x+4）．
设点M，N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），线段MN的中点为G（x₀，y₀）
由

y=k(x+4) x2 8 + y2 4 =1

得（1+2k²）x²+16k²x+32k²-8=0．①
由△=（16k²）²-4（1+2k²）（32k²-8）＞0解得-

2

2

＜k＜

2

2

．②
因为x₁，x₂是方程①的两根，所以x1+x2=-

16k2

1+2k2

，
于是有x0=

x1+x2

2

= -

8k2

1+2k2

，y0=k(x0+4)=

4k

1+2k2

因为x0= -

8k2

1+2k2

≤0，所以点G不可能在y轴的右边，
又直线F₁B₂，F₁B₁方程分别为y=x+2，y=-x-2
所以点G在正方形内（包括边界）的充要条件为

y0≤x0+2 y0≥-x0-2

即

4k 1+2k2 ≤- 8k2 1+2k2 +2 4k 1+2k2 ≥  8k2 1+2k2 - 2

亦即

2k2+2k-1≤0 2k2-2k-1≤0

解得

- 3 -1

2

≤k≤

3 - 1

2

，此时②也成立．
故直线l斜率的取值范围是[

- 3 +1

2

，

3 - 1

2

] …（15分）

点评：本题通过正方形的面积转化为边长，要求学生能通过椭圆的定义，得到椭圆的相关基本量．第二问对于“线段MN的中点落在正方形内（包括边界）”是学生的思维难点，进行有效的代数化是解题的关键．可以让学生回忆数学中关于平面区域中位置的判断方法，找到它的充要条件．