Question

如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC，
（Ⅰ）求证：FB=FC；
（Ⅱ）求证：FB²=FA·FD；
（Ⅲ）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵AD平分∠EAC， ∴∠EAD=∠DAC， ∵四边形AFBC内接于圆， ∴∠DAC=∠FBC， ∵∠EAD=∠FAB=∠FCB， ∴∠FBC=∠FCB， ∴FB=FC； （Ⅱ）∵∠FAB=∠FCB=∠FBC，∠AFB=∠BFD， ∴△FBA∽△FDB， ∴， ∴FB2=FA·FD； （Ⅲ）∵AB是圆的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠EAC=120°， ∴∠DAC=∠EAC=60°，∠BAC=60°， ∴∠D=30°， ∵BC=6， ∴， ∴AD=2AC=。