Question

已知点（x，y）在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的第一象限上运动．
（Ⅰ）求点(

y

x

，xy)的轨迹C₁的方程；
（Ⅱ）若把轨迹C₁的方程表达式记为y=f（x），且在(0，

3

3

)内y=f（x）有最大值，试求椭圆C的离心率的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求点(

y

x

，xy)的轨迹C₁的方程，设

x0= y x y0=xy

，只须求出x₀，y₀的关系式即可，利用点（x，y）在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的第一象限上运动，点的坐标适合方程，即可得到x₀，y₀的关系式；
（Ⅱ）由轨迹C₁方程是

y

a2x

+

xy

b2

=1（x＞0，y＞0），得y=

a2b2x

b2+a2x2

（x＞0）．利用基本不等式求出f（x）的最大值，及取得最大值的条件得出关于a，c的不等关系，即可求得椭圆C的离心率的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设点（x₀，y₀）是轨迹C₁上的动点，∴

x0= y x y0=xy.

（2分）
∴x₀y₀=y²，

y0

x0

=x2．
∵点（x，y）在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的第一象限上运动，则x₀＞0，y₀＞0．
∴

y0

a2x0

+

x0y0

b2

=1．
故所求的轨迹C₁方程是

y

a2x

+

xy

b2

=1（x＞0，y＞0）．（6分）
（Ⅱ）由轨迹C₁方程是

y

a2x

+

xy

b2

=1（x＞0，y＞0），得y=

a2b2x

b2+a2x2

（x＞0）．
∴f(x)=

a2b2x

b2+a2x2

=

a2b2

b2 x +a2x

≤

a2b2

2 b2 x •a2x

=

ab

2

．
所以，当且仅当

b2

x

=a2x，即x=

b

a

时，f（x）有最大值．（10分）
如果在开区间(0，

3

3

)内y=f（x）有最大值，只有

b

a

＜

3

3

．（12分）
此时，

b2

a2

＜

1

3

⇒

a2-c2

a2

＜

1

3

，解得

6

3

＜e＜1．
∴椭圆C的离心率的取值范围是(

6

3

， 1)．（14分）

点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．