Question

已知函数f（x）=cos²x+sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期和最小值；
（2）若α∈（

π

4

，

π

2

）且f（α+

3π

8

）=

2- 6

4

，求cosα的值．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期，根据正弦函数的值域即可求出f（x）的最小值；
（2）由已知等式利用f（x）的关系式，求出sin2α的值，根据α的范围求出2α的范围，利用特殊角的三角函数值求出α的度数，即可求出cosα的值．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

（1+cos2x）+

1

2

sin2x=

1

2

+

1

2

（sin2x+cos2x）=

1

2

+

2

2

sin（2x+

π

4

），
∵ω=2，∴T=π；
∵-1≤sin（2x+

π

4

）≤1，
∴sin（2x+

π

4

）的最小值为-1，
则f（x）的最小值为

1- 2

2

；
（2）f（α+

3π

8

）=

1

2

+

2

2

sin（2α+π）=

1

2

-

2

2

sin2α=

2- 6

4

，
∴sin2α=

3

2

，
∵α∈（

π

4

，

π

2

），
∴2α∈（

π

2

，π），
∴2α=

2π

3

，即α=

π

3

，
则cosα=

1

2

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．