题目内容

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：
①f（x）在D内单调递增或单调递减；
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．
（1）求闭函数y=-x3符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数f(x)=
3
4
x+
1
x
  (x＞0)是否为闭函数？并说明理由；
（3）若y=k+
x+2
是闭函数，求实数k的取值范围．
分析：（1）根据单调性依据闭区间的定义等价转化为方程，直接求解．
（2）判断其在（0，+∞）是否有单调性，再据闭函数的定义判断；
（3）根据闭函数的定义一定存在区间[a，b]，由定义直接转化求解即可．
解答：解：（1）由题意，y=-x3在[a，b]上递减，
则
b=-a3
a=-b3
b＞a
解得
a=-1
b=1
（4分）
所以，所求的区间为[-1，1]；（5分）
（2）取x1=1，x2=10，则f(x1)=
7
4
＜
76
10
=f(x2)，
即f（x）不是（0，+∞）上的减函数．
取x1=
1
10
，x2=
1
100
，
f(x1)=
3
40
+10＜
3
400
+100=f(x2)，
即f（x）不是（0，+∞）上的增函数
所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，
从而该函数不是闭函数；（9分）
（3）若y=k+
x+2
是闭函数，则存在区间[a，b]，
在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，
即
a=k+
a+2
b=k+
b+2
，∴a，b为方程x=k+
x+2
的两个实数根，
即方程x2-（2k+1）x+k2-2=0（x≥-2，x≥k）有两个不等的实根（11分）
当k≤-2时，有
△＞0
f(-2)≥0
2k+1
2
＞-2
，解得-
9
4
＜k≤-2，（13分）
当k＞-2时，有
△＞0
f(k)≥0
2k+1
2
＞k
，无解，（15分）
综上所述，k∈(-
9
4
，-2]．
点评：考查函数的单调性及新定义型函数的理解，以及问题的等价转化能力．
练习册系列答案
相关题目
对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）求证：函数y=g(x)=3-
5
x
不存在“和谐区间”．
（2）已知：函数y=
(a2+a)x-1
a2x
（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n-m的最大值．
（3）易知，函数y=x是以任一区间[m，n]为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的y=x及形如y=
bx+c
ax
的函数为例）
对于定义域为D的函数f（x），若存在区间M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的“等值区间”．给出下列三个函数：
①f(x)=(
12
)x；   ②f（x）=x3；    ③f（x）=log2x+1
则存在“等值区间”的函数的个数是
2
2
．
对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．
（1）求闭函数y=-x3符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数f（x）=
3
4
x+
1
x
（x＞0）是否为闭函数？并说明理由．
（2012•崇明县一模）定义：对于定义域为D的函数f（x），如果存在t∈D，使得f（t+1）=f（t）+f（1）成立，称函数f（x）在D上是“T”函数．已知下列函数：
①f（x）=
1x
；　
②f（x）=log2（x2+2）；
③f（x）=2x（x∈（0，+∞））；　
④f（x）=cosπx（x∈[0，1]），其中属于“T”函数的序号是
③
③
．（写出所有满足要求的函数的序号）
对于定义域为D的函数f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内有单调性；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，则称f（x）为D上的“和谐”函数，[a，b]为函数f（x）的“和谐”区间．
（Ⅰ）求“和谐”函数y=x3符合条件的“和谐”区间；
（Ⅱ）判断函数f(x)=x+
4
x
(x＞0)是否为“和谐”函数？并说明理由．
（Ⅲ）若函数g(x)=
x+4
+m是“和谐”函数，求实数m的取值范围．

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