Question

已知：(

1

2

)x≥

1

256

且log2x≥

1

2

（1）求x的取值范围；
（2）求函数f(x)=2(log4x-1)•log2

x

2

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）直接求解指数不等式和对数不等式得x得取值范围；
（2）利用对数的运算性质化简整理函数f（x）的解析式，然后利用配方法求其最值．

解答：解：（1）由(

1

2

)x≥

1

256

，得(

1

2

)x≥(

1

2

)8，x≤8．
由log2x≥

1

2

，得log2x≥log2

2

，x≥

2

，
∴

2

≤x≤8；
（2）由

2

≤x≤8，可得

1

2

≤log2x≤3，
∴f(x)=2(log4x-1)•log2

x

2

=（log₂x-2）（log₂x-log₂2）
=(log2x)2-3log2x+2=(log2x-

3

2

)2-

1

4

．
当log2x=

3

2

时，fmin(x)=-

1

4

，
当log₂x=3时，f_max（x）=2．

点评：本题考查了指数不等式和对数不等式的解法，考查了对数的运算性质，考查了利用配方法求函数的值域，是中档题．