Question

已知函数f（x）=asinx-x+b在x=

π

3

处有极值（其中a，b都是正实数）．
（I）求a的值；
（II）对于一切x∈[0，

π

2

]，不等式f(x)＞sinx+cosx总成立，求b的取值范围；
（III）若函数f（x）在区间(

m-1

3

π，

2m-1

3

π)上单调递增，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求导函数，利用函数f（x）=asinx-x+b在x=

π

3

处有极值，可求a的值；
（II）由题意b＞x+cosx-sinx对一切x∈[0，

π

2

]恒成立，求出右边的最大值，即可求b的取值范围；
（III）求导函数，利用函数f（x）在区间(

m-1

3

π，

2m-1

3

π)上单调递增，建立不等式，即可求实数m的取值范围．

解答：解：（I）∵f（x）=asinx-x+b，∴f'（x）=acosx-1．
∵函数f（x）=asinx-x+b在x=

π

3

处有极值，∴f′(

π

3

)=0，解得a=2．…（3分）
（II）由题意b＞x+cosx-sinx对一切x∈[0，

π

2

]恒成立．
记g（x）=x+cosx-sinx，∴g′(x)=1-cosx-sinx=1-

2

sin(x+

π

4

)．
∵x∈[0，

π

2

]，∴x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，∴1≤

2

sin(x+

π

4

)≤

2

．
∴g^′（x）≤0，∴g（x）在[0，

π

2

]上是减函数
∴g（x）_max=g（0）=1，
∴b＞1．…（8分）
（III）求导函数可得f′（x）=2cosx-1，
∵函数f（x）在区间(

m-1

3

π，

2m-1

3

π)上单调递增，
∴(

m-1

3

π，

2m-1

3

π)⊆[-

π

3

+2kπ，

π

3

+2kπ]，k∈z．
即

6k≤m≤3k+1 m＞0

，
∴m∈（0，1]．…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查函数的单调性，正确求导是关键．