题目内容
如图所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)求证：MN⊥CD；
(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
(1)如图所示，取PD的中点E，连结AE、EN，
则有EN綊
CD綊AB綊AM.
故AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.
∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.
又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.
∴AB⊥AE，即AB⊥MN.
又CD∥AB，∴MN⊥CD.
(3)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.
又∠PDA＝45°，E是PD的中点，
∴AE⊥PD，即MN⊥PD.
又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD.
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