Question

已知函数f(x)=

ax-1

ax+1

，
（1）判断函数的奇偶性；
（2）当x≥0时，求函数f（x）的值域；
（3）当a＞1时，判断并证明函数f（x）的单调性．

Answer 1

（1）∵定义域为R，且f（-x）=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-f(x)，∴f（x）是奇函数．
（2）f（x）=

ax+1-2

ax+1

=1-

2

ax+1

，
当a＞1时
∵x≥0
∴a^x+1≥2，
∴0＜

2

ax+1

≤1，
即f（x）的值域为[0，1）；
当0＜a＜1时
∵x≥0
∴1＜a^x+1≤2，
∴1≤

2

ax+1

＜2，
即f（x）的值域为（-1，0]．
∴当a＞1时，f（x）的值域为[0，1）；当0＜a＜1时，f（x）的值域为（-1，0]．
（3）当a＞1时，函数f（x）是R上的增函数
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=

ax1-1

ax+1

-

ax2-1

ax2+1

=

2ax1-2ax2

(ax1+1)(ax2+1)

＜0
∵分母大于零，且a x 1＜a x 2，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是R上的增函数．