题目内容

已知函数f（x）=ax²-1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x-y+2=0平行，若数列 $数学公式$ 的前n项和为S_n，则S₂₀₁₁的值为________．

$\text{[math]}$
分析：先利用函数的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x-y+2=0平行，求出a，代入即可求出数列的通项公式，再利用裂项法求和，即可得到结论．
解答：∵f′（x）=2ax，∴f′（1）=2a
∵函数f（x）=ax²-1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x-y+2=0平行，
∴2a=8，即a=4．
∴f（x）=4x²-1，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
∴S₂₀₁₁= $\text{[math]}$ [（1- $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）]= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题考查导数的几何意义，考查数列的求和，确定数列的通项是关键．

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